Modelo Matemático da área e piso de um apartamento

UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO

UNINOVE

Modelo Matemático da área e piso de um apartamento.

Alessandra Mendes Pestana Batista         917101579

Iramar Silva Almeida Júnior            917118228

Jessica Piauhy Albertin        917120122

Rebeca Abigail Chauque     917119785

São Paulo - SP

2019

UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO

UNINOVE

Modelo Matemático da área e piso de um apartamento.

Trabalho apresentado como requisito parcial para aprovação da matéria Práticas de Ensino em Projetos e Modelos Matemáticos do Curso de Matemática – 5º semestre, a Universidade Nove de Julho – UNINOVE, sob a orientação do Prof. José Roberto Mendes.

São Paulo - SP

2019

Introdução

Neste trabalho iremos falar sobre a modelagem matemática, a qual surgiu para ajudar na explicação de diferentes situações presentes no cotidiano.

Apresentaremos dois tipos de pisos que serão colocados num apartamento, suas caraterísticas e o custo que isso implica, com o fim de saber qual piso é o mais rentável. Demonstraremos isto através do calculo da área do piso para saber a quantidade de cerâmica, lamina, rejunte, rodapé e argamassa a ser usado.

Cálculos que normalmente as pessoas não acham considerável fazer para a construção do seu apartamento, até mesmo para saber se o pedreiro está realmente evitando gastos desnecessários. Em uma obra grande será que esses cálculos são mesmo significantes, calcular o valor somente do rejunte?

Pois pensam que é um bicho de sete cabeças fazer o cálculo de área, rejunte, piso, argamassa etc... Sendo que através das regras ou formulas básicas da matemática e um pouquinho de pesquisa do material usado na obra, já é suficiente para conseguir chegar ao resultado desejado.

Surgimento da medida de área.

As necessidades  no cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana.

Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a. C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.

Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a. C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.

O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.

A= b x h

O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo.

Planta baixa do Apartamento

Piso frio

Os pisos frios são assim chamados por darem aquela sensação de frescor e conduzirem bem o calor, diminuindo a temperatura aparente do espaço. Entre os tipos de piso que se enquadram nessa categoria estão a cerâmica, porcelanato, lajota, cimento queimado, ladrilho hidráulico, mármore, granito e demais pedras naturais. São materiais de grande durabilidade, os pisos frios são utilizados, principalmente, em ambientes externos e em áreas mais úmidas, que têm contato mais recorrente com a água, como cozinha, banheiro e varanda.

Rejunte

A argamassa para rejunte é um material industrializado cuja finalidade é preencher as juntas de assentamento entre placas cerâmicas e dar acabamento especial ao sistema de revestimento do cerâmico.

Junta de Assentamento                             Espaçadores e niveladores

Junta de dilatação (rejunte)

Tipos de rejuntes

·        Base cimenticia

Argamassas industrializadas coloridas à base de cimento, agregados minerais, aditivos especiais e pigmentos inorgânicos. Próprias para preencher juntas de assentamento de revestimentos, atendendo às espessuras de juntas utilizadas.

·        Base de resina epóxi

Argamassa industrializada que contém dois componentes, pré-dosados, que se misturam entre si. Um dos componentes é a resina epóxi e o outro é o endurecedor com cargas minerais. Tem textura com acabamento extraliso, é fácil de limpar, tem excepcional aderência e altas resistências mecânica e química. Utilizada para assentamento e rejunte.

·        Base de resina acrílica

Ele é pronto para o uso, fácil de aplicar com a prática embalagem aplicadora e oferece excelente acabamento. Além de ser impermeável e ideal para banheiros e cozinhas.

Argamassa para pastilhas - assenta e rejunta ao mesmo tempo

Argamassas industrializadas coloridas à base de cimento, agregados minerais, aditivos e pigmentos inorgânicos. São próprias para assentamento e rejunte simultâneos, facilitando a aplicação de pastilhas de diferentes tipos em ambientes internos e externos, em piscinas e em fachadas, de acordo com as indicações de cada produto.

O Brasil é imenso sendo possível identificar os mais variados tipos de clima. Desde o quente e seco com baixo índice de chuvas em algumas partes do Nordeste até as temperaturas abaixo de zero nas serras do sul do Brasil. Essa variação climática tem os seus efeitos nos mais diversos materiais usados na construção civil. A dilatação térmica devido ao calor, e consequentemente a contração pela falta dele, é um fenômeno físico, e está relacionado aos níveis de agitação e o espaço entre as moléculas de qualquer material. Dessa forma, é preciso estar atento e preparado para esses efeitos de forma a não comprometer a segurança na construção civil e também evita maiores prejuízos. Assim vamos entender melhor como e porque ocorrem as variações volumétricas dos materiais devido à variação térmica, os pontos de maiores incidências e a importância das famosas juntas de dilatação.

O que é dilatação e contração térmica?

Temperatura, para a física, é a grandeza que caracteriza o estado térmico de um corpo ou sistema, e pode ser entendido como o nível de agitação (energia cinética) das moléculas. Quanto maior o nível de agitação cinética, maior é a energia cinética, caracterizando assim um corpo quente. De maneira análoga, um corpo frio é aquele cuja agitação das moléculas é muito baixa. Dessa forma é mais fácil entender como e porque a dilatação e a contração acontecem. Quanto à energia térmica é elevada, e o grau de agitação das partículas é grande, a tendência é que aconteça uma expansão ou dilatação. Em situação de baixa energia térmica, os níveis de agitação são baixos e, portanto, os espaços entre as moléculas diminuem. No contexto da construção, saber o comportamento dos materiais em relação à incidência de frio e calor é fundamental, primeiramente para saber qual o melhor material a ser usado em cada situação. Além disso, é possível prever as variações volumétricas e assim tomar as medidas necessárias para que elas não comprometam as estruturas. Juntas de dilatação na construção civil são usadas como dispositivos para absorver essas variações, as chamadas juntas de dilatação ou juntas de movimentação. As juntas são calculadas e dimensionadas com base na movimentação que a estrutura pode apresentar e normalmente são feitas nos pontos mais críticos.

Em outras palavras, a junta é um espaço que é deixado para que o material possa se expandir ou contrair sem causar maiores danos. Se você está nesse momento em um local cujo piso é de cerâmica, vai perceber que as peças não estão em contato direto uma com a outra: esse espaço entre elas, preenchido com rejunte, é um exemplo de junta de dilatação. A importância maior das juntas de dilatação, porém, é na estrutura. Movimentações não controladas podem comprometer a segurança estrutural e por isso em todo bom projeto elas são devidamente dimensionadas e previstas. Abaixo temos uma tabela que especifica um tipo de junta de dilatação conhecida como rejunte que é usado entre revestimento de cerâmicos para acabamento e respeitando sua dilatação.

Características Técnicas

ü  Produto bicomponente que apresenta elevadas resistências química e mecânica, constituído de resina epóxi e endurecedor. Produto resistente a manchas e a formação de fungos, impermeável, antimofo e fácil limpeza diária.

Benefícios

ü  Acabamento extra liso, totalmente impermeavel, uso interno e externo, pode ser aplicado em Saunas, piscinas e fachadas até 20 andares, secagem rápido em 3 horas, pode ser usado em cerâmicas, porcelanatos, mármores e granitos.

Argamassa

Características Técnicas

ü  Cerâmicas do tipo porcelanato de até 80x80cm em pisos e paredes de áreas internas.
Áreas de grande movimentação de pedestres, como edifícios comerciais, estações, etc.

Benefícios

ü  Alta aderência
Áreas internas de alto tráfego
Pisos e paredes de áreas internas.

Caraterísticas

Áreas Indicadas	Externas sem Cobertura
Ambiente Indicado	Churrasqueiras, Garagens descobertas planas e Quintais
Estampa	Texturizado
Produto	Porcelanato
Intensidade do Brilho	Acetinado
Cor	Branco
Tonalidade	Branco
Formato	Quadrado
Altura	45 cm
Comprimento	45 cm
Espessura	8 mm
Dimensão	45x45 cm
Local Indicado	Chão e Parede
Textura	Sim
Tipo de Textura	Áspero
Acabamento Superfície	Natural
Acabamento Lateral	Borda Arredondada
Benefícios do Acabamento Lateral	Devido a borda ser arredondada será necessário maior espaçamento entre as peças.
PEI (Resistência ao Desgaste do Esmalte)	Não Aplicável
Tráfego Piso/Revestimento	Alto
Resistência ao Risco	Média Resistência
Modelo	Canyon Wh Plus
Espaçamento entre as Peças	3 a 8 mm
Instruções de Limpeza	Limpa com água e saponáceo
Peso do Produto na Embalagem	38,9 Kg
Conteúdo da Embalagem	11 peças
Metragem por Embalagem	2,18 m²
Marca	Cecrisa
Referência do Produto	55434
Unidade de Venda	por m²
Garantia do Fabricante	60 mes(es)

Piso quente

Os pisos quentes são assim chamados por não serem bons condutores de calor. Ou seja, é um tipo de material que permite pouca passagem de calor, já que o mesmo fica retido na superfície, o que permite um equilíbrio maior entre a temperatura da pele e do material.

Essa característica confere mais aconchego aos ambientes, o que torna esse tipo de piso recomendável para lugares de temperatura mais baixas ou para ambientes que pedem mais comodidade e conforto, sobretudo nos dias de inverno, como quartos e salas.

Entre os pisos quentes estão os laminados, assoalho de madeira, pisos de borracha e de bambu.

Piso clicado com rodapé                    Instalação piso laminado clicado

Modelo Matemático

Para o calculo da área do piso porcelanato usamos a formula da Área:

A = b x h

É preciso calcular 10% de segurança por qualquer imprevisto.

Aplicando regra de três simples:

13,98m²                                 100%

Xm²                                       10%

X = 1,4m²

Para saber a área total, somamos todas as áreas.

Tabela montada no Excel

Piso Porcelanato Cecrisa
Ambiente	Lado A m	Lado B m	Total m²
Cozinha	1,40	2,60	3,64
Area de Serviço	1,40	1,39	1,95
Varanda	2,21	1,41	3,12
Banheiro Suite	2,20	1,20	2,64
Banheiro Social	2,20	1,20	2,64
Area Total Piso Frio			13,98
10% segurança			1,40
Total Piso Frio			15,38

Custo Piso	Piso Frio/m²	R$/m²	Arred. Piso	R$/Total
	15,38	45,90	16,00	734,40

Mão de Obra	Piso Frio/m²	R$/m²	R$/Total
	13,98	65,00	908,70

Argamassa	kg/m²	Piso Frio	kg	R$/20 Kg	Qt. de Sacos	R$/Total
	3,500	15,38	53,830	22,90	3,00	68,70
Rejunte	m²/kg	Piso Frio	Kg	R$/Kg	Qt. de Sacos	R$/Total
	5,000	15,38	3,076	39,90	4,00	159,60

Custo Total Piso Frio

R$ 1.871,40

O mesmo será aplicado para o calculo da área do piso Laminado, multiplicando dois lados consecutivos de cada espaço e somando os resultados obteremos o total de área. Calculando também o 10% de segurança e somando-o.

O calculo da área do rodapé será feito somando dois lados consecutivos e multiplicando-os por 2, neste caso não é preciso calcular os 10% de segurança já que a parte da porta foi incluída e esta não levará rodapé o qual será considerado como segurança de perda.

Rodapé do Dormitório – Suite

(2,40 + 3,35) x 2 = 11,50m linear

Piso Laminado     Balterio
Ambiente	Lado A m	Lado B m	Total m²
Dormitório - Suite	2,40	3,35	8,04
Dormitório	3,15	2,40	7,56
Corredor Dorms.	2,00	0,85	1,70
L1 sala de jantar	1,26	2,15	2,71
Sala Jantar/Salade estar	2,40	4,00	9,60
Corredor Entrada	1,40	0,95	1,33
Área Total Piso Laminado			30,94
10% Segurança			3,09
Total Piso Laminado			34,03
Rodapé MDF - 5 cm
Ambiente	Lado A m	Lado B m	Total m linear
Dormitório - Suite	2,40	3,35	11,50
Dormitório	3,15	2,40	11,10
Corredor Dorms.	2,00	0,85	5,70
L1 sala de jantar	1,26	2,15	6,82
Sala Jantar/Salade estar	2,40	4,00	12,80
Corredor Entrada	1,40	0,95	4,70
Total Rodapé			52,62

Custo Piso	Piso Lamindao/m²	R$/m²	Arred. Piso	R$/Total
	34,03	89,00	34,00	3.026,00
Custo Rodapé	Rodapé m linear	R$/m linear	R$/Total
	52,00	14,00	728,00

Custo Total Piso Laminado	R$ 3.754,00
Custo Total Piso Frio	R$ 1.871,40
Custo Total Pisos	R$ 5.625,40

Para saber qual dos pisos é mais econômico, buscamos saber o preço por m² de ambos aplicando regra de três simples.

Piso Laminado

34m²                           R$ 3.754,00

1m²                              R$ 110,41

Piso Frio

15m²                           R$1.871,40

1m²                              R$ 124,76

Conclusão

Calculando todos os custos que poderíamos ter com cada piso, chegamos a conclusão que o piso Laminado é mais econômico que o Piso frio, e ao mesmo tempo é mais rentável por ele ter uma duração maior do que o piso frio, ou seja, a manutenção que irei ter que fazer do piso frio dentro de 5 anos o piso laminado será feito daqui 10 anos.

O piso laminado pode ser aplicado em áreas que tem contato com umidade, pois tem os que são específicos para isso.

O intuito era ter perca zero, mas com as pesquisas e estudos descobrimos que é impossível ter perca zero em uma obra, pois sempre tem o piso que na hora do recorte acaba quebrando, as peças que já vem com fragilidade, por isso acrescentado a margem de segurança de 10%.

Pode ser que ache insignificante o cálculo de quanto irei gastar de rejunte, se observado em um cômodo só realmente, a quantidade de rejunte é mínima, mas como diz o ditado “De grão em grão a galinha enche o papo”, isto quer dizer que, tudo devemos olhar a longo prazo, ou o resultado final. Calculando o rejunte usado em todo o apartamento o resultado já se torna mais interessante.

E se pensar em uma empresa, ou até mesmo em um shopping, no final de tudo o valor gasto de rejunte é significante sim, ainda mais aos olhos da economia, que a maioria dos custos é observado a longo prazo.

Juntando a economia que poderá ter de todos os materiais usados para sua obra, será um valor significante que evita gastar com coisas desnecessárias que irão ser jogadas fora.

Bibliografia

Disponível em: <https://www.fibersals.com.br> Acesso em 09 de março de 2019.

Disponível em: <http://www.decorguaru.com.br/carpetes-de-madeira/instalacao-de-piso-laminado-click> Acesso em 09 de março de 2019.

Disponível em: <https://www.quartzolit.weber/argamassas-e-rejuntes-quartzolit/rejuntes-quartzolit/rejunte-epoxi-quartzolit  acessado em 17/03/19> Acesso em 09 de março de 2019.

Disponível em: <https://www.construindominhacasaclean.com/2013/02/piso-laminado.html#.XJAuLihKjIU> Acesso em 09 de março de 2019.

Disponível em: <https://www.fazfacil.com.br/reforma-construcao/juntas-de-dilatacao> Acesso em 12 de março de 2019.

Disponível em: <http://techne17.pini.com.br/engenharia-civil/169/rejuntamento-ceramico-qual-deve-ser-a-largura-das-juntas-285860-1.aspx> Acesso em 12 de março de 2019.

Disponível em: <https://blog.tendtudo.com.br/piso-quente-e-piso-frio-o-que-sao-e-onde-usar/> Acesso em 13 de março de 2019.

Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea> Acesso em 13 de março de 2019.

Disponível em: <https://www.eliane.com/produtos/forma-branco-ac-45x45 > Acesso em 27 de março de 2019.

Nota individual

Alessandra Mendes Pestana Batista
Alessandra Mendes Pestana Batista
Iramar Silva Almeida Júnior
Jessica Piauhy Albertin
Rebeca Abigail Chauque

Iramar Silva Almeida Júnior
Alessandra Mendes Pestana Batista
Iramar Silva Almeida Júnior
Jessica Piauhy Albertin
Rebeca Abigail Chauque

Jessica Piauhy Albertin
Alessandra Mendes Pestana Batista
Iramar Silva Almeida Júnior
Jessica Piauhy Albertin
Rebeca Abigail Chauque

Rebeca Abigail Chauque
Alessandra Mendes Pestana Batista
Iramar Silva Almeida Júnior
Jessica Piauhy Albertin
Rebeca Abigail Chauque